Vertex-Modell

Ein Vertex-Modell ist ein Konzept aus der statistischen Physik und der Mathematik, das insbesondere in der Graphentheorie, der Theorie der integrablen Systeme sowie in biologischen und physikalischen Anwendungen eine zentrale Rolle spielt. Es beschreibt ein Gittermodell, bei dem die physikalischen Zustände durch die Knotenpunkte (Vertices) und deren Umgebung definiert werden, anstatt durch die Kanten des Gitters. Vertex-Modelle finden Anwendung in der Untersuchung von Phasenübergängen, kritischen Phänomenen, Gewebeanordnungen und Quantenfeldtheorie.

Grundlage eines Vertex-Modells ist ein Gitter, das in zwei oder mehr Dimensionen definiert ist, etwa ein quadratisches, hexagonales oder kubisches Gitter. Jedem Knoten wird ein Zustand zugeordnet, der von den Zuständen der benachbarten Knoten abhängt. Diese Zustände können durch Pfeile, Spins oder andere physikalische Größen dargestellt werden. Die Wechselwirkungen und Energien im Modell hängen von den Konfigurationen an den Knoten ab, wobei typischerweise eine Boltzmann-Gewichtung verwendet wird, die mit der Energie der jeweiligen Konfiguration verknüpft ist. Randbedingungen, die periodisch, offen oder speziell angepasst sein können, beeinflussen das Verhalten des Modells erheblich.

Ein interessantes Beispiel aus der Biologie ist die Modellierung von Pflanzenzellen. Hier dient ein Vertex-Modell dazu, die Geometrie und Dynamik von Zellverbänden in pflanzlichem Gewebe zu analysieren. Pflanzenzellen werden in diesem Modell durch Polygone dargestellt, wobei die Knotenpunkte die Verbindungsstellen zwischen den Zellwänden repräsentieren. Die Vertex-Zustände, also die Positionen der Eckpunkte, werden durch mechanische Kräfte beeinflusst, darunter Zellwandspannung, Turgordruck und Adhäsionskräfte zwischen benachbarten Zellen. Die Energie des Systems wird durch eine Gleichung beschrieben, die die Geometrie und physikalischen Eigenschaften der Zellen berücksichtigt. Ein konkretes Anwendungsbeispiel ist die Simulation von Wachstum und Zellteilung in der Epidermis von Pflanzenblättern, um zu untersuchen, wie mechanische Spannungen und Wachstumsfaktoren die Form und Organisation der Zellen beeinflussen.